state-space-linearization

Skill do linearyzacji nieliniowych równań stanu wokół wybranych punktów operacyjnych. Oblicza macierze Jacobiego (A, B) dla dynamiki ciągłej, a następnie dyskretyzuje je metodą Eulera lub eksponencjału macierzy. Szczególnie przydatny dla systemów rope-to-rope (R2R) z napięciami i prędkościami. Umożliwia przejście od modelu nieliniowego do liniowego modelu przestrzeni stanów, niezbędnego do syntezy regulatorów MPC i analizy stabilności.

1. Przygotuj model dynamiki nieliniowej w postaci dx/dt = f(x, u), gdzie x to wektor stanu (np. napięcia, prędkości), u to wejścia sterujące, a f to funkcja opisująca zmianę stanu.

2. Wybierz punkt pracy (x_ref, u_ref) wokół którego chcesz linearyzować. Dla systemów R2R będzie to zazwyczaj równowagowy stan napięć i prędkości.

3. Oblicz macierze Jacobiego: A = ∂f/∂x oraz B = ∂f/∂u w punkcie (x_ref, u_ref). Dla systemów R2R skorzystaj z podanych pochodnych cząstkowych (∂(dT_i/dt)/∂T_i, ∂(dT_i/dt)/∂v_i itd.).

4. Zdyskretyzuj uzyskane macierze ciągłe A_c i B_c na wybraną długość kroku czasowego dt. Użyj metody Eulera (A_d = I + dtA_c, B_d = dtB_c) dla prostoty lub eksponencjału macierzy dla większej dokładności.

5. Zweryfikuj stabilność linearyzowanego modelu poprzez analizę wartości własnych macierzy A_d. Jeśli punkt pracy zmieni się znacząco, powtórz linearyzację.

6. Wykorzystaj otrzymany liniowy model przestrzeni stanów do projektowania regulatora MPC lub innych algorytmów sterowania opartych na modelu liniowym.