residues

Umiejętność wspierająca pracę z residuami w analizie zespolonej. Zawiera algorytmy identyfikacji typu osobliwości (biegun prosty, biegun wyższego rzędu, osobliwość istotna), obliczania residuów oraz stosowania twierdzenia o residuach do całek konturowych. Wykorzystuje narzędzia SymPy do obliczeń granic, szeregów Laurenta i różniczkowania symbolicznego.

1. Zainstaluj umiejętność w swoim środowisku Claude, upewniając się, że masz dostęp do narzędzi Bash i Read oraz zainstalowany Python z biblioteką SymPy.

2. Określ typ osobliwości funkcji zespolonej w punkcie z0. Jeśli (z - z0)f(z) ma skończoną granicę, masz biegun prosty; jeśli (z - z0)^n f(z) ma skończoną granicę dla n > 1, to biegun rzędu n; jeśli żaden z tych warunków nie zachodzi, to osobliwość istotna.

3. Oblicz residuum odpowiedną metodą. Dla bieguna prostego użyj polecenia sympy_compute.py limit "(z - z0)*f(z)" --var z --at z0. Dla bieguna rzędu n zastosuj sympy_compute.py diff "((z-z0)**n)*f(z)" --var z --order n-1, a następnie podziel wynik przez (n-1)!. Dla osobliwości istotnej oblicz szereg Laurenta: sympy_compute.py series "f(z)" --var z --at z0.

4. Jeśli pracujesz z całką konturową, zidentyfikuj wszystkie bieguny leżące wewnątrz konturu C. Zastosuj twierdzenie o residuach: całka równa się 2πi razy suma residuów wewnątrz konturu.

5. Dla funkcji wymiernych f(z) = g(z)/h(z) z biegunem prostym w z0 możesz użyć skrótu: residuum równa się g(z0)/h'(z0).