categories-functors

Umiejętność wspierająca pracę nad zagadnieniami funktorów kategoryjnych. Prowadzi Cię przez weryfikację aksjomatów kategorii, sprawdzenie właściwości funktorów (zachowanie identyczności i kompozycji) oraz identyfikację typów funktorów (kowariantne, kontrawariantne, wierne, pełne). Zawiera konkretne przykłady funktorów zapominalskich, wolnych i Hom. Integruje się z Lean 4 i biblioteką Mathlib do formalnej weryfikacji dowodów.

1. Zainstaluj umiejętność w swoim projekcie Claude, dodając katalog .claude/skills/math/category-theory/categories-functors do struktury projektu.

2. Zanim zaczniesz pracę nad problemem, zweryfikuj aksjomaty kategorii: upewnij się, że obiekty i morfizmy są zdefiniowane, każdy obiekt ma morfizm identyczności, a kompozycja jest asocjacyjna. Możesz zapisać to w Lean 4 używając theorem assoc : (f ≫ g) ≫ h = f ≫ (g ≫ h) := Category.assoc.

3. Sprawdź właściwości swojego funktora: czy mapuje obiekty na obiekty i morfizmy na morfizmy, czy zachowuje identyczność (F(id_A) = id_{F(A)}) i czy zachowuje kompozycję (F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f)). W Lean 4 użyj theorem comp : F.map (g ≫ f) = F.map g ≫ F.map f := F.map_comp.

4. Określ typ funktora: czy jest kowariantny (zachowuje kierunek strzałek), kontrawariantny (odwraca kierunek), wierny/pełny (injektywny/surjektywny na zbiorach Hom), czy równoważność (pełny, wierny i zasadniczo surjektywny).

5. Porównaj swój funktor z typowymi przykładami: funktor zapominalski (zapomina strukturę), funktor wolny (lewy sprzężony do zapominalskiego), funktor Hom lub funktor zbioru potęgowego, aby lepiej zrozumieć jego rolę.

6. Zweryfikuj dowód w Lean 4, uruchamiając lake build, aby kompilator sprawdził poprawność. Mathlib zawiera pełną bibliotekę teorii kategorii, którą możesz wykorzystać do formalnej weryfikacji.